高阶导数

导数

\begin{aligned} y^{″} & = \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x}) \\ y^{‴} & = \frac{d^{3} y}{d x^{3}} = \frac{d}{d x} (\frac{d^{2} y}{d x^{2}}) \\ \dots & \dots \\ y^{(4)} & = \frac{d^{4} y}{d x^{4}} = \frac{d}{d x} (\frac{d^{3} y}{d x^{3}}) \\ \dots & \dots \\ y^{(n)} & = \frac{d^{n} y}{d x^{n}} = \frac{d}{d x} (\frac{d^{n - 1} y}{d x^{n - 1}}) \end{aligned}

求高阶导数本质就是利用求导法则多次接连求导数

一、逐次求导

初等函数的高阶导数

\begin{aligned} (e^{x})^{(n)} & = e^{x} \\ (\sin x)^{(n)} & = \sin (x + n \cdot \frac{π}{2}) \\ (\cos x)^{(n)} & = \cos (x + n \cdot \frac{π}{2}) \\ [\ln (1 + x)]^{(n)} & = (- 1)^{n - 1} \frac{(n - 1)!}{(1 + x)^{n}} \\ (x^{μ})^{(n)} & = \frac{μ!}{(μ - n)!} x^{μ - n} \\ (u \pm v)^{(n)} & = u^{(n)} \pm v^{(n)} \end{aligned}

二、莱布尼茨公式

Leibniz：可以借助二项式定理记忆

\begin{aligned} (u v)^{(n)} & = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} u^{(n - k)} v^{(k)} \\ = u^{(n)} v + C_{n}^{1} u^{(n - 1)} v^{'} + C_{n}^{2} u^{(n - 2)} v^{″} + \dots + C_{n}^{n} u v^{(n)} \end{aligned}

实际引用中，一般 $n$ 较大，可以考虑将具有有限次导数的项作为 $v$ ，无限次导数的项作为 $u$ ，较好求得结果
$y = x^{2} e^{2 x}$ ，将 $v = x^{2}, u = e^{2 x}$
$y^{(20)} = 2^{20} e^{2 x} \cdot x^{2} + C_{20}^{1} \cdot 2^{19} e^{2 x} \cdot 2 x + C_{20}^{2} \cdot 2^{18} e^{2 x} \cdot 2$